salah satu persamaan garis singgung lingkaran x²+y²+10x-6y+8=0 yang tegak lurus dengan garis 5x +y=10 adalah... a.x-5y-46=0 b.x-5y-26=0 c.x-5y+6=0 d.x-5y+26=0 e

Kelas : 11
Mapel : Matematika
Kategori : Lingkaran
Kata Kunci : persamaan garis singgung lingkaran, tegak lurus
Kode : 11.2.4

Pembahasan :
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah
x² + y² + Ax + By + C = 0
dengan A, B, dan C bilangan real.

Titik pusat lingkaran ([tex]- \frac{1}{2}A [/tex], [tex]- \frac{1}{2}B [/tex]).

Jari-jari lingkaran
r = [tex] \sqrt{ \frac{1}{4}A^2+ \frac{1}{4}B^2-C } [/tex]
dengan [tex]\frac{1}{4}A^2+ \frac{1}{4}B^2-C}\ \geq\ 0 [/tex].

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 dengan gradien m adalah
[tex]y\ +\ \frac{1}{2} B\ =\ m(x\ +\ \frac{1}{2}A)\ +\ r \sqrt{m^2+1} [/tex].
atau
[tex]y\ +\ \frac{1}{2} B\ =\ m(x\ +\ \frac{1}{2}A)\ -\ r \sqrt{m^2+1} [/tex].

Mari kita lihat soal tersebut.
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 10x - 6y + 8 = 0 yang tegak lurus dengan garis 5x + y = 10 adalah...

Jawab :
Diketahui persamaan lingkaran x² + y² + 10x - 6y + 8 = 0.
A = 10, B = -6, dan C = 8.

Jari-jari lingkaran
r = [tex] \sqrt{\frac{1}{4}(10)^2+ \frac{1}{4}(-6)^2-8} [/tex]
⇔ r = [tex] \sqrt{\frac{1}{4}(100)\ +\ \frac{1}{4}(36)\ -\ 8} [/tex]
⇔ r = [tex] \sqrt{25\ +\ 9\ -\ 8} [/tex]
⇔ r = [tex] \sqrt{26} [/tex]

Persamaan garis 
5x + y = 10
⇔ y = -5x + 10 
⇔ m₁ = -5

m₁ x m₂ = -1
⇔ -5 x m₂ = -1
⇔ m₂ = [tex] \frac{-1}{-5} [/tex]
⇔ m₂ = [tex] \frac{1}{5} [/tex]

Jadi, gradien yang tegak lurus persamaan garis 5x + y = 10 adalah [tex] \frac{1}{5} [/tex].

Nilai gradien garis m₂ = [tex] \frac{1}{5} [/tex] dan jari-jari lingkaran r = [tex] \sqrt{26} [/tex] kita substitusikan ke persamaan garis singgung lingkaran
[tex]y\ +\ \frac{1}{2}(-6)\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ \frac{1}{2}(10))\ +\ \sqrt{26}( \sqrt{(\frac{1}{5})^2+1)} [/tex]
⇔ [tex]y\ -\ 3\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ 5) +\ \sqrt{26} (\sqrt{\frac{1}{25}+1}) [/tex]
⇔ [tex]y\ -\ 3\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ 5) +\ \sqrt{26} (\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{25}{25}}) [/tex]
⇔ [tex]y\ -\ 3\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ 5) +\ \sqrt{26} (\sqrt{\frac{26}{25}}) [/tex]
⇔ [tex]y\ -\ 3\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ 5) +\ 26 (\sqrt {\frac{1}{25}}) [/tex]
⇔ [tex]y\ -\ 3\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ 5) +\ 26 (\frac{1}{5}}) [/tex]
⇔ 5y - 15 = x + 5 + 26
⇔ x - 5y + 5 + 26 + 15 = 0
⇔ x - 5y + 46 = 0

atau

[tex]y\ +\ \frac{1}{2}(-6)\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ \frac{1}{2}(10))\ -\ \sqrt{26} (\sqrt{(\frac{1}{5})^2+1}) [/tex]
⇔ [tex]y\ -\ 3\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ 5)\ -\ \sqrt{26} (\sqrt{\frac{1}{25}+1}) [/tex]
⇔ [tex]y\ -\ 3\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ 5) -\ \sqrt{26} (\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{25}{25}}) [/tex]
⇔ [tex]y\ -\ 3\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ 5) -\ \sqrt{26} (\sqrt{\frac{26}{25}}) [/tex]
⇔ [tex]y\ -\ 3\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ 5) -\ 26 (\sqrt{ \frac{1}{25}}) [/tex]
⇔ [tex]y\ -\ 3\ =\ \frac{1}{5}(x\ +\ 5) -\ 26 (\frac{1}{5}}) [/tex]
⇔ 5y - 15 = x + 5 - 26
⇔ x - 5y + 5 - 26 + 15 = 0
⇔ x - 5y - 6 = 0

Soal lain untuk belajar: https://brainly.co.id/tugas/9750938

Semangat!

Stop Copy Paste!